Infinite Powers

Hacía tiempo que no leía un libro de divulgación científica, uno de mis géneros favoritos, sobre todo cuando el libro es bueno. Infinite powers, sin traducción al español de momento, es uno de esos libros; lo voy a traducir como “poderes infinitos”. Steven Strogatz escribiéndolo es como uno de esos buenos profesores de matemáticas que consiguen hacerlas amenas.

El libro da una visión histórica de a qué problemas se fue enfrentando el cálculo incluso antes de que se llamar cálculo y la conexión si acaso misteriosa que existe entre el cálculo, un engendro humano, y la naturaleza. Es misteriosa y sorprendente porque la naturaleza, extrañamente, parece responder al cálculo.

Todo el cálculo se basa en una idea muy poderosa. Si un problema grande se divide partes infinitesimales, el análisis, cada una de esas partes es más fácil de resolver. Sólo queda sumar los infinitos subproblemas para obtener una solución, la síntesis. Los griegos tenían problemas con esto, no les gustaba el concepto de infinito. Los griegos hablaban de razones, proporciones, hacían geometría, pero desligada de los números. Con esto quiero decir, que las demostraciones que en realidad hacían los griegos no tenían parte algebraica por ningún lado, eso llegó varios sigos después. Aún hoy a mí la fórmula de Herón (no sale en el libro) me sigue fascinando.

El dibujar puntos en planos y poder representar en el plano cualquier ecuación algebraica fue un avance impresionante. De repente todo el conocimiento de los griegos podía ser representado de forma algebraica y construir sobre él.

Se podría decir que todos esos avances cristalizaron en Newton y Leibniz, quienes de forma independiente descubrieron el teorema fundamental del cálculo, ese que dice que la integral y la derivada están relacionads. Newton además revolucionó la física y con sus leyes de Newton y de la gravitación universal fue capaz de explicar cosas tan dipares como las tres leyes de Kepler o el movimiento uniformemente acelerado que había visto Galileo. Fascinante.

Hizo muchas más cosas Newton, yo por ejemplo no sabía, que las series de Taylor ya las había hecho Newton (no menciona a Taylor en el libro). O los logartimos naturales, otra cosa que Newton descubrió al analizar la función $\frac{1}{x}$. Eso sí, el libro tiene un error. Newton no dijo que $F=m \cdot a$ en su segunda ley, el la expresó con derivadas, no usó la aceleración sino la derivada de la velocidad respecto al tiempo.

Leibniz llegó algo más tarde que Newton pero su notación era superior. Gracias Leibniz por ejemplo despreciamos los diferenciales de segundo orden frente a los de primer orden utilizando su notación. En notación de Leibniz Newton dijo $F=m\frac{dv}{dt}$

$$y = x^2$$ $$y + dy = (x + dx)^2$$ $$y + dy = x^2 + 2xdx + d^2x $$

Gracias a Leibniz ese $d^2x$ sabemos que se puede despreciar frente al término anterior de primer orden $2xdx$. Entonces queda lo que se espera como derivada.

$$ dy = 2xdx$$ $$\frac{dy}{dx} = 2x$$

El cálculo siguió avanzando después de Newton y Leibniz: extensión a funciones de más de una variable, entendimiento de los problemas que no se pueden resolver, o la teoría del caos que dice una cosa tan antiintuitiva como cierta que es que el hecho de conocer todas las variables de un sistema y de que el sistema sea determinista no convierte a ese sistema en predecible. Es sorprendente.

Lo curioso del cálculo, para mí, es que problemas que en principio sólo son juegos mentales para mantenerse entretenido acaban encontrando aplicación prácita después.